We are searching data for your request:
Upon completion, a link will appear to access the found materials.
U matematičkoj statistici i vjerojatnosti važno je znati teoriju skupova. Elementarne operacije teorije skupova imaju veze s određenim pravilima u proračunu vjerojatnosti. Interakcije tih elementarnih operacija spajanja, sjecišta i komplementa objašnjavaju se dvije izjave poznate kao De Morganovi zakoni. Nakon što iznesemo ove zakone, vidjet ćemo kako ih dokazati.
Izjava De Morganovih zakona
De Morganovi zakoni odnose se na interakciju unije, sjecišta i komplementa. Podsjetimo da:
- Sjecište skupova i B sastoji se od svih elemenata koji su zajednički obojici i B, Presjek je označen sa ∩ B.
- Zajedništvo skupova i B sastoji se od svih elemenata koji u bilo kojem ili B, uključujući elemente u oba skupa. Presjek je označen s A U B.
- Dopuna seta sastoji se od svih elemenata koji nisu elementi , Taj je komplement označen sa AC.
Sada kad smo se prisjetili tih elementarnih operacija, vidjet ćemo izjavu De Morganovih zakona. Za svaki par setova i B
- ( ∩ B)C = C U BC.
- ( U B)C = C ∩ BC.
Pregled strategije dokazivanja
Prije skoka u dokaz razmislit ćemo o tome kako dokazati gore navedene tvrdnje. Pokušavamo pokazati da su dva skupa jednaka jedna drugoj. Način na koji se to radi u matematičkom dokazu je postupkom dvostrukog uključivanja. Ova metoda dokazivanja je:
- Pokažite da je skup na lijevoj strani našeg znaka jednak podskup skupa na desnoj strani.
- Ponovite postupak u suprotnom smjeru, pokazujući da je skup s desne strane podskup skupa na lijevoj strani.
- Ova dva koraka omogućuju nam da kažemo da su skupovi u stvari jednaki jedni drugima. Sastoje se od svih istih elemenata.
Dokaz jednog od zakona
Vidjet ćemo kako dokazati prvi od De Morganovih zakona iznad. Započinjemo pokazivanjem toga ( ∩ B)C je podskupina C U BC.
- Prvo pretpostavimo da x je element ( ∩ B)C.
- Ovo znači to x nije element ( ∩ B).
- Budući da je sjecište skup svih elemenata zajedničkih za oba i B, prethodni korak znači to x ne može biti element obojega i B.
- Ovo znači to x mora biti element barem jednog skupa C ili BC.
- To po definiciji to znači x je element od C U BC
- Prikazali smo željenu uključenost podskupine.
Naš dokaz je sada na pola puta završen. Da bismo ga dovršili, pokazat ćemo suprotno uključenje podskupine. Točnije moramo pokazati C U BC je podskupina ( ∩ B)C.
- Započinjemo s elementom x u setu C U BC.
- Ovo znači to x je element od C ili to x je element od BC.
- Tako x nije element barem jednog skupa ili B.
- Tako x ne može biti element obojega i B, Ovo znači to x je element ( ∩ B)C.
- Prikazali smo željenu uključenost podskupine.
Dokaz drugog zakona
Dokaz druge izjave vrlo je sličan dokazu koji smo naveli gore. Sve što treba učiniti je pokazati podskup uključenja skupova na obje strane znaka jednake.